Question

【题目】已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a<0).1,3是函数y=f(x)+2x的两个零点.若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.

Answer 1

【答案】f(x)=-x2-x-.

【解析】

由题意，利用待定系数法，f(x)+2x=a(x-1)(x-3),则f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+9a=0.利用方程的判别式可得a=-.则f(x)=-x2-x-.

因为1,3是y=f(x)+2x的两个零点,且a<0,

所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),

得f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①

所以f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+9a=0.②

又方程②有两个相等的实根,

所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,

即5a2-4a-1=0,

解得a=1(舍去)或a=-.

将a=-代入①,得

f(x)=-x2-x-.