题目内容
【题目】如图，矩形
中，
，
为
的中点，现将
与
折起，使得平面
及平面
都与平面
垂直.
（1）求证：
平面；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）分别取
的中点
，由线面垂直性质定理可得
，又三角形
和
全等，所以
，四边形
为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即得证；
（2）以
为原点，
，
为
，
正半轴，过作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角
的正弦值．
（1）如图所示：
分别取
，
的中点
，
，连结
，
，
，
则
，
，
平面与平面
都与平面垂直，
平面，
平面，
由线面垂直的性质定理得，
，四边形是平行四边形，
，
平面，
平面．
（2）如图，以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则
，
，平面
的法向量
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，得
．
设二面角的平面角为
，由图知为钝角，
．
∴二面角的余弦值为
，则正弦值为．
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