题目内容
【题目】已知圆,直线
的方程为
,点
是直线
上一动点,过点
作圆的切线
、
,切点为
、
.
(1)当的横坐标为
时,求
的大小;
(2)求四边形面积的最小值;
(3)求证:经过、
、
三点的圆
必过定点,并求出所有定点的坐标.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析,
,
【解析】
(1)由已知求出点纵坐标,求出
,利用
,求出
,即可得出结论;
(2),转化求
的最小值,求圆心到直线
的最小值,即可求解;
(3)设,由
,圆
就是以
为直径的圆,求出其方程,整理为圆系方程,即可求解.
(1)由题可知,圆的半径
,
,
因为是圆
的一条切线,所以
,
又因,
又,
;
(2),
要使四边形面积最小,只需
最小.
又,只需
最小.
当时,
有最小值,
,
此时四边形面积最小为
.
(3)设,因为
,
所以经过、
、
三点的圆
以
为直径,
方程为:
即
由,解得
或
所以圆过定点,
.
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