题目内容
【题目】如图的空间几何体中,四边形为边长为2的正方形,
平面
,
,
,且
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)分别取的中点
,
,连接
,
,
,首先证明出四边形
为平行四边形得到
,接着通过证明
面
来得到
面
,通过面面垂直判定定理即可得结果;
(2)如图所示:取中点
,记
,连接
,
,利用线面平行性质定理证出两面的交线与
平行,然后再证出
,可得
为平面
与平面ABCD所成二面角的平面角,在
中即可求得答案.
(1)如图所示:
分别取的中点
,
,连接
,
,
,
∵,
,
,
,
∴,
且
,
,
∴四边形为平行四边形,∴
,
由于,
为
的中点,四边形
为边长为2的正方形
∴,
又∵平面
,∴
,
又∵,∴
面
,
∴面
,
∴平面平面
.
(2)如图所示:取中点
,记
,连接
,
,
由(1)知,,∴
面ABCD,
记面面
,则
易得,即
,
又∵平面
,∴
,
又∵,
,
∴面
,∴
,即
为直角三角形,
同理为直角三角形,
由于,
,
由,则
,∴
,
∴,即
,
∴则为平面
与平面ABCD所成二面角的平面角,
由四边形为边长为2的正方形得
,
∴,∴
,
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
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