题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,且离心率为
.
(1)设过点的直线与椭圆
相交于
、
两点,若
的中点恰好为点
,求该直线的方程;
(2)过右焦点的直线
(与
轴不重合)与椭圆
交于
两点,线段
的垂直平分线交
轴于点
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程,结合点差法解决中点弦问题,求出直线斜率,求解直线方程;
(2)设直线的方程,联立直线和椭圆,根据交点坐标关系,求出线段
的垂直平分线方程,得出
的表达式,利用函数关系求解取值范围.
(1)由题意,得,解得
所以椭圆的标准方程是
.
设点,
,则
两式相减得,
又,
,代入得
,即
,
故所求直线的方程是,即
.
(2)(i)当直线与
轴垂直时,
,符合题意.
(ii)当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
.
联立方程
消去,可得
,易知
.
设,
,线段
的中点为
,
则,
,
所以,
所以线段的中点
的坐标为
.
由题意可知,,
,
故直线的方程为
.
令,得
,即
.
当时,得
,当且仅当
时等号成立;
当时,得
,当且仅当
时等号成立.
综上所述,实数的取值范围为
.
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