Question

10．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x+a}$，（a＜3且a∈Z），且函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增，定义在R上的函数g（x）=（x+b）（x²-8），且函数g（x）在x=1处的切线与直线x-y=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）与函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x）•g（x），x≠-2\\-4{e^{-2}}，x=-2\end{array}$，试问：是否存在实数a，b，其中[a，b]⊆（-∞，4]，使得函数F（x）的值域也为[a，b]？若能，请求出相应的a、b；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）求得函数f（x）的导数，解不等式可得a=2，由直线垂直的条件，可得b=2，进而得到f（x），g（x）的解析式；
（II）求得当x≠-2时，F（x）=f（x）•g（x）=e^x•（x²-8）的导数，求出单调区间，令h（x）=F（x）-x=e^x•（x²-8）-x，求得导数，判断单调性，求得零点的范围，可得a=-8e^-2，b=x₀，则x∈[a，b]⊆（-∞，4]，函数F（x）的值域仍为[a，b]．

解答 解：（ I）${f^'}（x）=\frac{{{e^x}（x+a-1）}}{{{{（x+a）}^2}}}$，
∵因为函数f（x）在区间（-1，0）单调递增，
∴-1+a-1≥0⇒a≥2，∵a＜3，a∈Z，∴a=2，
g′（x）=3x²+2bx-8，函数g（x）在x=1处的切线与直线x-y=0垂直，
∴g′（1）=-1，∴b=2，
∴$f（x）=\frac{e^x}{x+2}$，g（x）=（x+2）（x²-8）；
（ II）当x≠-2时，F（x）=f（x）•g（x）=e^x•（x²-8），
又F（-2）=-4e^-2，∴F（x）=e^x•（x²-8），
∴F′（x）=2xe^x+x²e^x-8e^x，
令F′（x）＞0⇒x＜-4，x＞2
∴F（x）的单调递增区间为（-∞，-4]，[2，+∞），
单调递减区间为[-4，2]．
又∵x→-∞，F（x）→0，F（-4）=8e^-4，F（2）=-4e²，F（4）=8e⁴，
令h（x）=F（x）-x=e^x•（x²-8）-x，
则h′（x）=e^x（x²+2x-8）-1，
当$x∈[2\sqrt{2}，4]$，h′（x）＞0，
又∵$h（2\sqrt{2}）＜0，h（3）＞0$，
∴$存在唯一的{x_0}∈（2\sqrt{2}，3）$，使得h（x₀）=0，即F（x₀）=x₀．
又y=8e^-4与y=x的交点的横坐标小于$2\sqrt{2}$，
∴$F（{x_0}）＞F（2\sqrt{2}）＞F（-4）=8{e^{-4}}$，
所以令a=-8e^-2，b=x₀，
则x∈[a，b]⊆（-∞，4]，函数F（x）的值域仍为[a，b]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查两直线垂直的条件和函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．