题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在
处的切线方程;
(2)对于任意,
恒成立,求
的取值范围;
(3)试讨论函数的极值点的个数.
【答案】(1)(2)
(3)解答见解析
【解析】
(1)由题意,当时,可得
,求得
,且
,利用点斜式方程,即可求解;
(2)由,
恒成立,转化为即
在
上恒成立,令
,利用导数求得函数
的单调性与最值,即可求解;
(3)由,得到则
,令
,得到
,对
分类讨论,即可求解.
(1)由题意,当时,函数
,
则,可得
,且
,
所以在
处的切线方程
.
(2)由,
恒成立,
即在
上恒成立,
令,则
,
当,即
时,
在
上恒成立,
所以在
上单调递增,所以
,
当,即
时,令
,得
(
舍去).
- | 0 | + | |
所以当时,
,不符合题意.
综上可得,,即
的取值范围
.
(3)由,
则,
令,则
,
①当,即
时,
恒成立,∴
在
上单调递增,
且,
.
由零点存在性定理可知在
上存在唯一的零点,不妨设为
.
- | 0 | + | |
极小值 |
所以函数有一个极值点;
②当,即
时,令
,则
.
- | 0 | + | |
极小值 |
所以函数的最小值为
.
1*)当,即
时,
恒成立,
令,
由,得
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,得
,
∴,
∴单调递增,无极值点,即
时,
无极值点.
2*)当,即
时,且
.
∵,∴
在
上有唯一的零点
.
下面先证:.
设,∴
,
当时,
单调递减;
当时,
单调递增,
所以,即
得证,
所以,
又因为,所以
,
由零点存在性定理可知在
上存在唯一零点,不妨设
,
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
所以函数有两个极值点;
3*)当时,
且
,
,
,
又由,
∴由零点存在性定理可知在
与
上各存在唯一零点,
同上2*)可知有两个极值点.
综上所述,当时,
有一个极值点;当
且
时,
有两个极值点;当
时,
无极值点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间,但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系,在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数,得到了如下数据:
温差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
发芽数 | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)请根据统计的最后三组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)若由(1)中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗,则认为线性回归方程是可靠的,试判断(1)中得到的线性回归方程是否可靠;
(3)若100颗小麦种子的发芽率为颗,则记为
的发芽率,当发芽率为
时,平均每亩地的收益为
元,某农场有土地10万亩,小麦种植期间昼夜温差大约为
,根据(1)中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.
附:在线性回归方程中,
.