题目内容

20．如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）A1C⊥平面BDC1；
（2）求三棱锥A1-BDC1的体积．

分析 （1）A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影，AC⊥BD，则A1C⊥BD，同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，根据直线与平面垂直的判定定理可知A1C⊥平面BDC1．
（2）利用正方体的体积减去4个三棱锥的体积，即可求三棱锥A1-BDC1的体积．

解答 （1）证明：∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影．
∵AC⊥BD．∴A1C⊥BD．
同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，
∴A1C⊥平面BDC1．
（2）解：三棱锥A1-BDC1的体积=1-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本小题主要考查线面关系，以及三棱锥A1-BDC1的体积等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
10．已知函数f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+（1-2a）（a＞0）
（1）当a≥$\frac{1}{2}$时，比较f（x）与㏑x在[1，+∞）上的大小关系；
（2）证明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞㏑（n+1）+$\frac{n}{{2（{n+1}）}}$（n≥1）；
（3）已知S=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2014}$，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）
11．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，且MN⊥PC，MN⊥AB．证明：平面PAD⊥平面PDC．
8．已知曲线C是由所有满足方程$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}$=|$\frac{m}{3}$x+3|的点组成的，其中m是正常数．
（1）判断曲线C的形状，并说明理由；
（2）若直线y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（x+m）交C于不同的两点P，Q，PQ中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求曲线C的方程．
15．已知an=n+2，从无穷数列{an}中抽取部分项a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，…a${\;}_{{k}_{3}}$，…组成一个等比数列{bn}，其中1=k1＜k2＜k3＜…＜kn＜kn+1＜…，（n∈N*），kn∈N*，记这个等比数列的公比为q．
（1）求证：q∈N*，q≥2；
（2）求证：$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N*）是正整数；
（3）设数列{an}的前n项的和为Sn，若存在n∈N*，使Sn≥qn成立，求q的所有可能取值，并证明你的结论．
5．已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程．
1．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=BC=2，过A′，C′，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到ABCD-A′C′D′，
（Ⅰ）若DD′=3，求几何体ABCD-A′C′D′的体积；
（Ⅱ）若DD′＞1，且直线A′D与平面A′BC′所成的角的正弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，求二面角D-A′B-C′的平面角的余弦值．
18．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别是边CD、CB的中点，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA、PB、PD，得到五棱锥P-ABFED，且PB=$\sqrt{10}$．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求四棱锥P-BDEF的体积；
（3）求二面角B-AP-O的正切值．
19．如图，平面EFGH分别平行于CD，AB，点E，F，G，H分别在AC，AD，BD，BC上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）点E在什么位置时，四边形EFGH的面积最大？

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网