题目内容

19.如图,平面EFGH分别平行于CD,AB,点E,F,G,H分别在AC,AD,BD,BC上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)点E在什么位置时,四边形EFGH的面积最大?

分析 (1)根据平行线的性质证明四边形EFGH是矩形.
(2)根据边长关系,建立函数关系,然后求四边形EFGH的面积.

解答 (1)证明:∵CD∥面EFGH,CD?平面ACD,
平面EFGH∩平面ACD=EF,
∴CD∥EF,同理HG∥CD,
∴EF∥HG,同理HE∥GF,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∵CD∥EF,HE∥AB,
∴∠HEF(或其补角)为CD和AB所成的角,
又∵CD⊥AB,
∴HE⊥EF,
∴四边形EFGH为矩形;
(2)解:由(1)可知在△ABC中EH∥AB,
记$\frac{CH}{CB}$=$\frac{EH}{AB}$=λ(0<λ<1),则EH=λb,
在△BCD中GH∥CD,则$\frac{BH}{BC}$=$\frac{GH}{CD}$=1-λ,
∴GH=a(1-λ),
又∵四边形EFGH是矩形,
∴S矩形EFGH=a(1-λ)•λb
≤ab•$(\frac{1-λ+λ}{2})^{2}$
=$\frac{ab}{4}$,当且仅当λ=1-λ即λ=$\frac{1}{2}$时等号成立,
即H为BC的中点时,矩形EFGH的面积最大为$\frac{ab}{4}$.

点评 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断和应用,考查学生的运算和推理能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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