题目内容

【题目】如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCDADBCABADAC=3,PABC=4,M为线段AD上一点,AM=2MDNPC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB
(2)求四面体NBCM的体积.

【答案】
(1)证明:由已知得AM= AD=2,如图,

取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN= BC=2.又AD∥BC,故 ,所以四边形AMNT为平行四边形,

于是MN∥AT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN∥平面PAB


(2)解:因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 PA.

如图,取BC的中点E,连接AE,由AB=AC=3得AE⊥BC,AE= .

由AM∥BC得M到BC的距离为 ,故S△BCM ×4× =2

所以四面体N-BCM的体积VN-BCM ×S△BCM× .


【解析】1.本题考察直线与平面平行的判定及直线与平面平行的性质,由线线平行证线面平行。2.求四面体NBCM的体积=底面积高,要想到“PA⊥平面ABCD”的作用,结合题目的已知即可解出。

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