题目内容
【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD , AD∥BC , AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD , N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
【答案】
(1)证明:由已知得AM= AD=2,如图,
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN= BC=2.又AD∥BC,故 ,所以四边形AMNT为平行四边形,
于是MN∥AT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN∥平面PAB
(2)解:因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 PA.
如图,取BC的中点E,连接AE,由AB=AC=3得AE⊥BC,AE= = .
由AM∥BC得M到BC的距离为 ,故S△BCM= ×4× =2 ,
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM= ×S△BCM× = .
【解析】1.本题考察直线与平面平行的判定及直线与平面平行的性质,由线线平行证线面平行。2.求四面体N-BCM的体积=底面积高,要想到“PA⊥平面ABCD”的作用,结合题目的已知即可解出。