题目内容
【题目】已知椭圆,
,
为椭圆的两个焦点,
为椭圆上任意一点,且
,
构成等差数列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点
,且
,求出该圆的方程.
【答案】(1).(2) 见解析.
【解析】试题分析:(1)由题知得到
,进而得到离心率,再根据三个参数的关系得到最终结果;(2)先由圆的切线的性质得到
,再由垂直关系得到
,联立直线和椭圆得到二次方程,由韦达定理得到
进而证得结果。
解析:
(1)由题知,即
,得
①
又由,得
②,且
,综合解得
.
∴椭圆的方程为
.
(2)假设以原点为圆心,为半径的圆满足条件.
(i)若圆的切线的斜率存在,并设其方程为,则
,
①
由消去
,整理得
,设
,
,有
,又∵
,∴
,
即,化简得
.②
由①②求得,所求圆的方程为
.
(ii)若的斜率不存在,设
,则
,∵
,
∴,有
,
,代入
,得
,此时仍有
.
综上,总存在以原点为圆心的圆满足题设条件.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由算得,
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是 ( )
A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【题目】某个调查小组在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了150人,其中男性45人,女性55人。女性中有35人主要的休闲方式是室内活动,另外20人主要的休闲方式是室外运动;男性中15人主要的休闲方式是室内活动,另外30人主要的休闲方式是室外运动。
参考数据:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)根据以上数据建立一个的列联表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为休闲方式与性别有关?