题目内容
【题目】如图,在四棱椎中,
是棱
上一点,且
,底面
是边长为2的正方形,
为正三角形,且平面
平面
,平面
与棱
交于点
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)在正方形中,
,由面面垂直的性质定理可得
,∴
平面
,又
平面
,∴
,进而证得
,又
平面
,
,
∴平面
,∵
平面
,∴平面
平面
.
(2)取中点
,以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
,求出相关点的坐标,进而得到平面
的一个法向量
,平面
的一个法向量
.由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角,又由题意可得二面角
为钝角,即可得到二面角
的余弦值.
试题解析:
(1)在正方形中,
,又平面
平面
,且平面
平面
,
∴平面
,又
平面
,∴
,∵底面
是正方形,∴
,
又平面
,
平面
,∴
平面
.
又四点共面,且平面
平面
,∴
,∴
,
又,∴
为棱
的中点,
是棱
中点,
∵是正三角形,∴
,又
平面
,
,
∴平面
,∵
平面
,∴平面
平面
.
(2)取中点
,以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,则
,∴
,
,
,解得
,
,令
,则
为平面
的一个法向量,设平面
的法向量为
,则
,
,
∴,
,得
,
,令
,则
为平面
的一个法向量.
∴,由图知二面角
为钝角,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 25 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,请列举出所有基本事件,并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.