Question

【题目】（本小题满分12分）椭圆 （）的上顶点为， 是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在两个定点， ．

【解析】试题（1）设．以为直径的圆经过椭圆的右焦点即，从而得到b,c的一个方程，然后将点P代入椭圆方程得到a,b的一个方程，再结合,三个量三个方程，从而求出参数a,b，进而求出椭圆方程；（2）是否存在性问题应假设存在去求解．当直线的斜率存在时，设其方程为，由其与椭圆有且只有一个公共点得到．假设存在两点， 满足题设，然后得到 ．因与参数k,m无关，所以令其系数等于零即可求出．

试题解析：（1）， ，由题设可知，得

①

又点在椭圆上， ， ②

③

①③联立解得， ，

故所求椭圆的方程为

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，

整理得（）

方程（）有且只有一个实根，又，

所以，得

假设存在， 满足题设，则由

对任意的实数恒成立，

所以， 解得， 或

当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．

总上，存在两个定点， ，使它们到直线的距离之积等于．