题目内容
【题目】已知函数(
是自然对数的底数),
.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求的最大值;
(Ⅲ)设,其中
为
的导函数,证明:对任意
,
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由导数几何意义得,又切点为
,可得切线方程;(Ⅱ)利用导数判断函数
单调性,进而确认极值点,从而确定最大值;(Ⅲ)由
,所以对任意
,
等价于
,由(Ⅱ),
的最大值为
,故
,所以
,对任意
恒成立.
试题解析:(Ⅰ)由,得
,
,所以
,
所以曲线在点
处的切线方程为
.
(Ⅱ),
,所以
.
令得,
,因此当
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
所以在
处取得极大值,也是最大值.
的最大值为
.
(Ⅲ)证明:因为,所以
,
,
等价于
.
由(Ⅱ)知的最大值为
,故
,
只需证明时,
成立,这显然成立.
所以,因此对任意
,
.
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