题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知点
为平面上的动点,且过点
作
的垂线,垂足为
,满足:
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)在轨迹上求一点
,使得
到直线
的距离最短,并求出最短距离.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)将点的坐标代入化简可得到动点
的轨迹
的方程;(Ⅱ)由点到直线的距离公式求得M到直线的距离,结合函数性质可求得函数的最小值及取得最小值时的自变量值即M的坐标
试题解析:(Ⅰ)设,
,…………4分,
,
,
所求轨迹为: ………6分
(Ⅱ)法一:设,则
的距离为
,此时
为所求. ……12分
法二:当与直线平行,且与曲线相切时的切点与与直线
的距离最短.
设该直线方程为,…… 7分
,解得:
到直线
的距离最短,最短距离为
.……12分
法三:当与直线平行,且与曲线相切时的切点与与直线
的距离最短.
设切点为,轨迹方程可化为:
,切线斜率为
,
以下方法同法二.
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