Question

【题目】如图，已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上， 分别是椭圆的左、右焦点。过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为等腰三角形，求点的坐标；

（3）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：

(1)由题意得到关于的方程组，求解方程组可得椭圆的标准方程： ；

(2)由题意可得点在轴下方据此分类讨论有： ，联立直线的方程与椭圆方程可得；

(3)设直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，可得 利用几何关系计算可得 ，利用点在椭圆上得到关于实数k的方程，解方程有： .

试题解析：

（1）由题意得，解得

∴椭圆的标准方程：

（2）∵为等腰三角形，且∴点在轴下方

若，则；

若，则，∴；

若，则，∴；

∴

∴直线的方程，由得或

∴

（3）设直线的方程，

由得

∴ ∴

∴ ∴

若，则∴，∴，∵，∴，∴与不垂直；

∴，∵， ，

∴直线的方程，直线的方程:

由 解得 ∴

又点在椭圆上得，即，即

∵，∴