Question

（2008•上海一模）观察数列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③a_n=tan

nπ

3

，n=1，2，3，…
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{a_n}，如果

存在正整数T

，对于一切正整数n都满足

a_n+T=a_n

成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列；
（2）若数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，n∈N^*，S_n为{a_n}的前n项和，且S₂=2008，S₃=2010，证明{a_n}为周期数列，并求S₂₀₀₈；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=p，p∈[0，

1

2

），且a_n+1=2a_n（1-a_n），n∈N^*，判断数列{a_n}是否为周期数列，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据所给数据发现他们呈周期性变化，类比周期函数可得周期数列定义
（2）根据递推关系a_n+2=a_n+1-a_n可用做差发求得a_n+6=-a_n+3=a_n，而a_k+a_k+1+-----+a_k+5=0，k∈N^*利用周期性知S₂₀₀₈=a₁+a₂+a₃+a₄=a₂+a₃=1007
（3）直接做比较困难，可以利用数学归纳法进行求解

解答：解：（1）存在正整数T，使a_n+T=a_n；
（2）证明：由a_n+2=a_n+1-a_n⇒a_n+3=a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n⇒a_n+6=-a_n+3=a_n
所以数列，{a_n}是以T=6为周期的周期数列
由S₂=2008，S₃=2010，a₁+a₂=2008，a₁+a₂+a₃=2010⇒a₃=2
于是

a1+a2=2008 a2-a1=2

?

a1=1003 a2=1005

又a_k+a_k+1+-----+a_k+5=0，k∈N^*，
所以，S₂₀₀₈=a₁+a₂+a₃+a₄=a₂+a₃=1007
（3）当p=0时，{a_n}是周期数列，
因为此时a_n=0（n∈N*）为常数列，
所以对任意给定的正整数T及任意正整数n，
都有a_n+T=a_n，符合周期数列的定义．
当p∈（0，

1

2

）时，{a_n}是递增数列，不是周期数列．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，因为a₁=p，p∈（0，

1

2

）
所以a2=2a1(1-a1) =2p(1-p)＜2(

p+1-p

2

) =

1

2

2，
且a₂-a₁=2a₁（1-a₁）-a₁=a₁（1-2a₁）=p（1-2p）＞0
所以a₁＜a₂，a₂∈（0，

1

2

）
②假设当n=k时，结论成立，即a₁＜a₂＜---＜a_k，a_k∈（0，

1

2

），
则a_k+1^-a_k=2a_k（1-a_k）-a_k=a_k（1-2a_k）＞0即a_k＜a_k+1
所以当n=k+1时，结论也成立．
根据①、②可知，{a_n}是递增数列，不是周期数列．

点评：本题考查了周期函数类比到周期数列，研究周期数列的有关问题．