Question

6．若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若4比x²-3x接近0，求x的取值范围；
（2）对于任意的两个不等正数a，b，求证：a+b比$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$接近$2\sqrt{ab}$；
（3）若对于任意的非零实数x，实数a比$x+\frac{4}{x}$接近-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得：|x²-3x|＞4，则x²-3x＞4或x²-3x＜-4，由此求得x的范围．
（2）根据$a+b＞2\sqrt{ab}$，且$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}＞2\sqrt{ab}$，化简|$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$-$2\sqrt{ab}$|-|a+b-2$\sqrt{ab}$|的结果大于零，可得a+b比$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$接近$2\sqrt{ab}$．
（3）由题意$|a+1|＜|x+\frac{4}{x}+1|$对于x∈R，x≠0恒成立，分类讨论求得|x+$\frac{4}{x}$+1|的最小值，可得|a+1|的范围，从而求得a的范围．

解答 解：（1）由题意得：|x²-3x|＞4，则x²-3x＞4或x²-3x＜-4，
由x²-3x＞4，求得x＞4或x＜-1；由x²-3x＜-4，求得x无解．
所以x取值范围为（-∞，-1）∪（4，+∞）．
（2）因为a，b＞0且a≠b，所以$a+b＞2\sqrt{ab}$，且$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}＞2\sqrt{ab}$，
所以$|\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}-2\sqrt{ab}|-|a+b-2\sqrt{ab}|=（\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}-2\sqrt{ab}）-（a+b-2\sqrt{ab}）$
=$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}-（a+b）=\frac{{（a+b）{{（a-b）}^2}}}{ab}＞0$，
则$|\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}-2\sqrt{ab}|-|a+b-2\sqrt{ab}|＞0$，
即a+b比$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$接近$2\sqrt{ab}$．　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）由题意：$|a+1|＜|x+\frac{4}{x}+1|$对于x∈R，x≠0恒成立，
当x＞0时，$x+\frac{4}{x}+1≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}+1=5$，当x=2时等号成立，
当x＜0时，则-x＞0，$（-x）+\frac{4}{-x}≥2\sqrt{（-x）•\frac{4}{-x}}=4$，当x=-2时等号成立，所以$x+\frac{4}{x}≤-4$，则$x+\frac{4}{x}+1≤-3$，
综上$|x+\frac{4}{x}+1{|_{min}}=3$．
故由|a+1|＜3，求得-4＜a＜2，即a取值范围为（-4，2）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．