Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=λ-1，a_n+2-a_n=λ，n∈N^*，其中λ为常数，
（1）若λ=4，求数列{a_n}的前20项和S₂₀；
（2）是否存在实数λ，使得{a_n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当λ=4时可知数列{a_2n-1}是以1为首项、4为公差的等差数列，数列{a_2n}是以3为首项、4为公差的等差数列，进而分组求和即得结论；
（2）假设存在实数λ，使得{a_n}为等差数列，则a_n+2-a_n=2（a₂-a₁），进而计算可得结论．

解答 解：（1）当λ=4时，a₁=1，a₂=3，a_n+2-a_n=4，n∈N^*，
∴数列{a_2n-1}是以1为首项、4为公差的等差数列，数列{a_2n}是以3为首项、4为公差的等差数列，
∴S₂₀=（10+$\frac{10×9}{2}$×4）+（30+$\frac{10×9}{2}$×4）=400；
（2）结论：存在实数λ=4，使得{a_n}为等差数列．
理由如下：
假设存在实数λ，使得{a_n}为等差数列，则a_n+2-a_n=2（a₂-a₁），
∴λ=2[（λ-1）-1]，
解得：λ=4，
又∵当λ=4时，a₁=1，a₂=3，
∴a₃=4+a₁=5，a₄=4+a₂=7，…
结合（1）可知存在实数λ=4，使得{a_n}为等差数列．

点评 本题考查数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．