题目内容
【题目】将个数
,
,…,
的连乘积
记为
,将
个数
,
,…,
的和
记为
.(
)
(1)若数列满足
,
,
,设
,
,求
;
(2)用表示不超过
的最大整数,例如
,
,
.若数列
满足
,
,
,求
的值;
(3)设定义在正整数集上的函数
满足:当
(
)时,
,问是否存在正整数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由(已知
).
【答案】(1);(2)
;(3)存在,且
.
【解析】
(1)结合题意,处理得到,可以采取逐项消元法,计算结果,即可。(2)处理得到
,求和,相互消去,即可。(3)结合题意,计算发现
,故最后一项
必定出现在1+2+3+…+17=153项之后,建立关于n的等式,发现存在正整数n,即可。
解:(1)由,得
,或
且,
所以.又
,所以,
.
从而=1.
(2)由,
,因为
,
所以,,
所以,,
因为,所以
.
(3)若存在正整数n,则由已知得
,
,且
,
因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后,且
,共有
个
,
所以,,
所以,,解得
.
所以存在正整数n=166,使得.
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