题目内容
【题目】有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,则这时容器中水的深度为___________.
【答案】15
【解析】
根据球的半径,先求得球的体积;根据圆与等边三角形关系,设出的边长为
,由面积关系表示出圆锥的体积;设拿出铁球后水面高度为
,用
表示出水的体积,由
即可求得液面高度.
因为铁球半径为,所以由球的体积公式可得
,
设的边长为
,则由面积公式与内切圆关系可得
,
解得,则圆锥的高为
.
则圆锥的体积为,
设拿出铁球后的水面为,且
到
的距离为
,如下图所示:
则由,可得
,
所以拿出铁球后水的体积为,
由,可知
,
解得,即将铁球取出后容器中水的深度为15.
故答案为:15.
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