题目内容
【题目】某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为
，且各个布娃娃是否有奖品相互独立.
（1）记5个布娃娃中有1个有奖品的概率为
，当
时，的最大值，求
；
（2）假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为p的值.已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元.以最终奖金的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃；
（3）若已知50件布娃娃中有10个布娃娃有奖品，从这堆布娃娃中任意购买5个，若抽到k个有奖品可能性最大，求k的值.（k为正整数）
【答案】（1）
；（2）买下剩下所有的45个布娃娃；（3）
【解析】
(1) 求出
的表达式,再进行求导,利用导数性质能求出的最大值点
.
(2) 由(1)可知
,设剩下45个布娃娃中有Y个奖品,获利为X元,则
，又
,求出
即可得出结果;
(3) 设抽到k个有奖品的可能性为
，则
，
根据题意可得
,计算即可得出结果.
（1）由题意可得
，
，
令
得
.当
时, 
；当
时, 
的最大值点为,因此当时,取最大值.
（2）由(1)可知，
设剩下45个布娃娃中有Y个奖品，获利为X元，
则，又.
因此
因此买下剩下所有的45个布娃娃.
（3）设抽到k个，有奖品的可能性为，
则，
根据题意可得，
即
且
，
化简得
，
解得
，从而.
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