题目内容
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
，
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）若
，求的极坐标方程；
（2）若与恰有4个公共点，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由参数方程消参后，可得其普通直角坐标方程，结合
可求出其极坐标方程.
（2）由题意首先确定曲线
的形状为原点为圆心，半径为2和4的两个同心圆，由公共点个数判断出
与圆
相交，即可得关于半径的不等式，从而求出半径的取值范围.
解：（1）由
（
为参数），得
，
即
，得
，即，
所以的极坐标方程为.
（2）由题意可知
，则曲线表示圆心为
，半径为
的圆，
由
，得
或
，则由两个同心圆组成，原点为圆心，半径为2和4；
因为与恰有4个公共点，所以圆与圆相交，
所以
，解得.
【题目】某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系：
年入流量 |
|
|
一台未运行发电机年维护费 | 500 | 800 |
欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？
【题目】2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018-2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．
（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的
，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的
，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？
附
，
，
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（2）某垃圾站的日垃圾分拣量
（千克）与垃圾分类志愿者人数
（人）满足回归直线方程
，数据统计如下：
志愿者人数 | 2 | 3 | 4 | 6 | |
日垃圾分拣量 | 25 | 30 | 40 | 45 |
|
已知
，
，
，根据所给数据求
和回归直线方程，附：
，
．
（3）用（2）中所求的线性回归方程得到与
对应的日垃圾分拣量的估计值
．当分拣数据
与估计值满足
时，则将分拣数据
称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记
表示取得“正常数据”的个数，求的分布列和数学期望．
【题目】从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表：
数据分组 | [12.5，15.5） | [15.5，18.5） | [18.5，21.5） | [21.5，24.5） | [24.5，27.5） | [27.5，30.5） | [30.5，33.5） |
频数 | 3 | 8 | 9 | 12 | 10 | 5 | 3 |
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5]内的概率；
（2）求这50件产品尺寸的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸
服从正态分布
，其中
近似为样本平均值，
近似为样本方差
，经计算得
.利用该正态分布，求
（
）.
附：（1）若随机变量服从正态分布，则
；（2）
.
