Question

【题目】（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.

①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.

②理学社设置了第()个月中签的名额为，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.

（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第()个月中签的概率为，活动进行了个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于个月.

Answer 1

【答案】（1）①②（2）证明见解析；

【解析】

（1）①设甲乙丙中签为事件，则，计算得到答案.

②甲参加活动的时间的可能取值为，计算概率得到数学期望.

（2）设甲中签为事件，则，，利用错位相减法得到，得到证明.

（1）①设甲乙丙中签为事件，

则.

②，故，则甲参加活动的时间的可能取值为，

则；；

；

.

则甲参加活动的时间的期望为.

（2）设甲中签为事件，则，

设，甲在第个月中中签的概率为，

则甲在事件A发生的条件下，第个月中中签的概率为，

则甲在事件A发生的条件下，甲参加活动时间的均值为

，

设，

则，

所以，

，

所以.