Question

【题目】已知是抛物线的焦点，点是抛物线上一点，且，直线过定点（4，0），与抛物线交于两点，点在直线上的射影是.

（1）求的值；

（2）若，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据抛物线上的点到抛物线焦点的距离等于该点到抛物线准线的距离求解的值，进而根据点在抛物线上求解的值；（2）联立直线与抛物线的方程得到一元二次方程，利用韦达定理结合两直线垂直或线段的长度的关系求解参数的值，进而确定直线方程.

解：（1）由得，所以，

将代入，得.

（2）解法一：因为，由（1）知点，

抛物线的方程为，

设直线的方程是，

由得，

设，

则，

因为，所以，

所以，且，

所以，

且，

由，

得，

即，

，

解得（舍去）或，

所以直线的方程是，

即.

解法二：因为，由（1）知点，

抛物线的方程为，

设直线的方程是，

由得，

设，

则，

由

解得点的纵坐标是，

，

，

因为，

所以

，

化简得，

解得（舍去）或，

所以直线的方程是，

即