题目内容
已知函数.
(1)若函数在定义域内为增函数,求实数的取值范围;
(2)设,若函数存在两个零点,且实数满足,问:函数在处的切线能否平行于轴?若能,求出该切线方程;若不能,请说明理由.
(1);(2)在处的切线不能平行于轴.
解析试题分析:(1)函数在定义域内为增函数,则其导数恒大于等于0.求导得:
.由得:.要恒成立,只需即可.接下来利用重要不等式可求出的最小值.
由题意,知恒成立,即.
(2)本题属探索性问题.对探索性问题,常用的方法是假设成立,然后利用题设试着去求相关的量.若能求出来,则成立;若无解,则不成立.
在本题中,总的方向如下:首先假设在的切线平行于轴,则是的极值点,故有.又函数存在两个零点,所以,再加上,这样有4个方程(4个未知数).接下来就试着求.若能求出,则切线能平行于轴(同时也就求出了该切线方程);若不能求出,则切线不能平行于轴.
试题解析:(1)
由题意,知恒成立,即.
又,当且仅当时等号成立.
故,所以.
(2)将求导得:.
存在两个零点,所以.
设在的切线平行于轴,则.
结合题意,有,
①—②得
所以由④得
所以 ……………………………………⑤
设,⑤式变为
设,
所以函数在上单调递增,
因此,,即
也就是,,此式与⑤矛盾.所以在处的切线不能平行于轴.
考点:1、函数的单调性;2、函数的零点;3、函数的导数及其应用.
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