题目内容
已知定义在上的函数
,其中
为常数.
(1)当是函数
的一个极值点,求
的值;
(2)若函数在区间
上是增函数,求实数
的取值范围;
(3)当时,若
,在
处取得最大值,求实数
的取值范围.
(1);(2)
;(3)
.
解析试题分析:(1) 本小题首先由可得
,因为
是是函数
的一个极值点,所以
;
(2) 本小题首先利用导数的公式和法则求得,根据函数
在区间
上是增函数,讨论参数
的不同取值对单调性的影响;
(3)本小题首先求得,然后求得导数
,然后讨论单调性,求最值即可.
试题解析:(1)由可得
因为是是函数
的一个极值点,
所以
(2)①当时,
在区间
上是增函数,
所以符合题意
②当时,
,令
当时,对任意的
,
,所以
符合题意
当时,
时,
,所以
,即
符合题意
综上所述,实数的取值范围为
(3)当时,
所以
令,即
显然
设方程的两个实根分别为
,则
不妨设
当时,
为极小值
所以在
上的最大值只能是
或
当时,由于
在
上是递减函数,所以最大值为
所以在
上的最大值只能是
或
由已知在
处取得最大值,所以
即,解得
又因为,所以实数
的取值范围为
考点:1.导数公式与法则;2.函数的单调性;3.等价转化.