题目内容
已知函数.
(1)若函数在上是增函数,求实数的取值范围;
(2)若函数在上的最小值为3,求实数的值.
(1);(2).
解析试题分析:(1)这是一个由函数在某区间上是增函数,求参数取值范围的问题,可转化为其导函数在此区间上恒大于或等于0的一个恒成立问题,恒成立问题是我们所熟悉的问题,可分离参数解答,也可由函数本身的性质作出判断;(2)这是一个求含参函数在某区间上的最小值问题,可通过导数的符号去判断函数的单调区间,当然一般会涉及对参数的讨论,之后利用单调性则可求出函数的最小值,再由最小值为3,就可求出参数的值.
试题解析:(1)∵,∴.
∵在上是增函数,
∴≥0在上恒成立,即≤在上恒成立.
令,则≤.
∵在上是增函数,∴.
∴≤1.所以实数的取值范围为.
(2)由(1)得,.
①若,则,即在上恒成立,此时在上是增函数.
所以,解得(舍去).
②若,令,得.当时,,所以在上是减函数,当时,,所以在上是增函数.
所以,解得(舍去).
③若,则,即在上恒成立,此时在上是减函数.
所以,所以.
考点:函数与导数、函数的单调性.
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