Question

【题目】在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，

∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，

而∠A=60°，∴△ADF为正三角形．

又AE=DE=1，∴EF⊥AD．

在图（2）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥平面BEP

（2）解：分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则E（0，0，0），B（2，0，0），P（1， ，0），A1（0，0，1），

， ．

设面EA1P的法向量为 ，

则 ，取y=﹣1，得 =（ ，﹣1，0）；

设面BA1P的法向量为 ，

则 ，取y=1，得 =（ ，1，2 ）．

∴cos＜ ＞= = ，

∴二面角B﹣A1P﹣E的大小的余弦值为

【解析】（1）在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，由已知可得△ADF为正三角形．进一步得到EF⊥AD．在图（2）中，可得A1E⊥EF，BE⊥EF，即∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，可得A1E⊥平面BEP； （2）分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出面EA1P与面BA1P的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值得答案．