题目内容
18.已知函数f(x)=-2$\sqrt{3}$cos2(x$+\frac{π}{4}$)+2sin(x$+\frac{π}{4}$)sin(x$-\frac{π}{4}$)$+\sqrt{3}$.(I)求函数f(x)的单凋递增区间;
(Ⅱ)当x∈[-$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$]时,求函数f(x)的值域.
分析 (I)由条件利用三角函数的恒等变换及化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性求得函数的增区间.
(Ⅱ)当x∈[-$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$],利用函数的定义域和值域求得函数f(x)的值域.
解答 解:(I)∵函数f(x)=-2$\sqrt{3}$cos2(x$+\frac{π}{4}$)+2sin(x$+\frac{π}{4}$)sin(x$-\frac{π}{4}$)$+\sqrt{3}$
=-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos(2x+\frac{π}{2})}{2}$-2sin(x+$\frac{π}{4}$)cos(x+$\frac{π}{4}$)=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos(2x+$\frac{π}{2}$)-sin(2x+$\frac{π}{2}$)
=-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=-$\sqrt{3}$+2sin(2x-$\frac{π}{6}$).
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$,求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$,可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{π}{3}$],k∈Z.
(Ⅱ)当x∈[-$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$]时,2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{7π}{6}$],sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
∴-$\sqrt{3}$+2sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-2$\sqrt{3}$,2-$\sqrt{3}$],即函数的值域为[-2$\sqrt{3}$,2-$\sqrt{3}$].
点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题.
A. | f(x)=$\frac{|x|}{x}$ | B. | f(x)=$\frac{cosx}{x}$(-$\frac{π}{2}$<x<$\frac{π}{2}$) | ||
C. | f(x)=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$ | D. | f(x)=x2ln(x2+1) |