Question

【题目】

已知椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线y＝x＋b截得椭圆C的弦长为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线，交椭圆C于点A，B，求|AB|的最大值，并求取得最大值时m的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) |AB|最大为，m＝±1.

【解析】试题分析：(1)利用条件布列关于a,b方程组，即可得到椭圆C的方程；(2)讨论直线的斜率，进而联立方程，(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，表示弦长，进而得到|AB|的最大值.

试题解析：

(Ⅰ)由e＝＝，a2＝b2＋c2得a2＝2c2，b2＝c2，

由得

∵＝b＝，∴b＝1，∴a＝，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，＋y2＝1，|y|＝，|AB|＝，

当AB与x轴不垂直时，

设AB方程为y＝k(x－m)，

由得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，

Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

由＝1得k2m2＝k2＋1，

∴|AB|＝＝≤＝，

当且仅当|m|＝1时取“＝”，∴|AB|<，

∴当AB⊥x轴时，|AB|最大为，m＝±1.