Question

6．已知在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（1，1），$\frac{1}{|\overrightarrow{BA}|}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{BC}|}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2|\overrightarrow{BD}|}$$\overrightarrow{BD}$，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{13}}{8}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{4\sqrt{26}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{7}}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，根据$\frac{1}{|\overrightarrow{BA}|}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{BC}|}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2|\overrightarrow{BD}|}$$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，可得四边形ABCD是菱形．又$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，可得$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{3}{2}$$|\overrightarrow{BA}|$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
∵$\frac{1}{|\overrightarrow{BA}|}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{BC}|}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2|\overrightarrow{BD}|}$$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，
∴四边形ABCD是菱形．
∴$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{3\overrightarrow{BD}}{2|\overrightarrow{BD}|}$，$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$，
∴$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{3}{2}$$|\overrightarrow{BA}|$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴cosA=$\frac{2（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$-\frac{1}{8}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
∴四边形ABCD的面积=$2×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}）^{2}×\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、余弦定理与三角形面积计算公式、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．