Question

15．函数y=f（x）在R内可导，导函数f′（x）是增函数，且f′（x）＞0，设y=g（x）是曲线y=f（x）在点（p，f（p））（其中p∈R）处的切线方程．
（1）证明：f（x）≥g（x），当且仅当x=p时等号成立；
（2）若g（a）=f（x₀），证明：x₀≤a；
（3）若e^x＞ln（x+m）（其中x∈R且x＞-m），证明：m＜$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先利用点斜式表示出切线方程，比较g（x）与f（x）的大小可利用作差比较，构造函数h（x）=g（x）-f（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，求出函数h（x）的最大值，即可证得结论；
（2）运用反证法，结合函数的单调性和（1）的结论，即可得到；
（3）分离参数得，m＜${e}^{{e}^{x}}$-x，所以m＜[${e}^{{e}^{x}}$-x]_min，构造函数，F（x）=${e}^{{e}^{x}}$-x，求最小值，从而结论得证．

解答 证明：（1）y-f（p）=f'（p）（x-p）
∴g（x）=f′（p）x+f（p）-pf′（p），
令h（x）=g（x）-f（x），
则h'（x）=f'（p）-f'（x），h'（p）=0．
因为f'（x）递增，所以h'（x）递减，
因此，当x＞p时，h'（x）＜0；
当x＜p时，h'（x）＞0．
所以p是h（x）唯一的极值点，且是极大值点，
可知h（x）的最大值为0，因此h（x）≤0，
即f（x）≥g（x），当且仅当x=p时等号成立；
（2）由（1）可得f（x）≥g（x），当且仅当x=p时等号成立，
由f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
假设x₀＞a，则f（x₀）＞f（a），又f（a）＞g（a），
即为g（a）＜f（x₀），矛盾．
故x₀≤a；
（3）因为e^x＞ln（x+m）恒成立，
分离参数得，m＜${e}^{{e}^{x}}$-x，
所以m＜[${e}^{{e}^{x}}$-x]_min，
构造函数，F（x）=${e}^{{e}^{x}}$-x，
令F'（x）=${e}^{{e}^{x}}$•e^x-1=0得，e^x+x=0，
记g（x）=e^x+x，单调递增，设该函数的零点为x₀，
因为g（-1）＜0，g（-$\frac{1}{2}$）＞0，所以x₀∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
因此F（x）_min=F（x）_极小值=F（x₀）=-（x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$）＜-（-$\frac{1}{2}$-2）=$\frac{5}{2}$，
上式化简用到：①x₀满足方程e^x+x=0，②x₀∈（-1，-$\frac{1}{2}$），③双勾函数单调性．
所以m＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及比较两函数的大小，比较大小常常运用作差法进行比较，同时考查反证法和不等式恒成立问题的解法，属于难题．