题目内容

【题目】已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）

A.B.C.D.1

【答案】B

【解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.

根据题意,设,

则

由代入可得

即点的轨迹方程为

又因为,变形可得,即,且

所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:

所以的最小值即为到直线的距离最小值

根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值

设切线的方程为,化简可得

由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得

即

所以切线方程为或

所以当变化时, 到直线的最大值为

即的最大值为

故选:B

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