Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一个菱形，三角形PAD是一个等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，点E在线段PC上，且PE＝3EC．

（1）求证：AD⊥PB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取中点,连接,根据等边三角形的性质证得平面，由此证得.（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）取中点,连接,

由条件知均为等边三角形，

因此,

而

由线面垂直定理可证,

又

即证

（2）由（1）知，

从而；

以建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则，，，

,

，

设面的法向量为

则 可得；

设面的法向量为

则 可得

由图知二面角为锐角，

故二面角的余弦值为.