题目内容
【题目】已知函数与
,若对任意的
,都存在
,使得
,则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
求出函数在区间
上的值域为
,由题意可知,由
,可得出
,由题意知,函数
在区间
上的值域包含
,然后对
分
、
、
三种情况分类讨论,求出函数
在区间
上的值域,可得出关于实数
的不等式(组),解出即可.
由于函数在
上的减函数,则
,即
,
所以,函数在区间
上的值域为
.
对于函数,内层函数为
,外层函数为
.
令,得
.
由题意可知,函数在区间
上的值域包含
.
函数的图象开口向上,对称轴为直线
.
(i)当时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,则
,
,即
,
此时,函数在区间
上的值域为
,
由题意可得,解得
,此时,
;
(ii)当时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,则
,
,即
,
此时,函数在区间
上的值域为
,
由题意可得,解得
或
,此时
;
(iii)当时,函数
在区间
上单调递减,则
,
,则函数
在区间
上的值域为
,
由题意可得,解得
,此时,
.
综上所述,实数的取值范围是
.
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