题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断的奇偶性,并证明;
(2)用定义证明函数在
上单调递减;
(3)若,求
的取值范围.
【答案】(1)偶函数;见解析(2)见解析(3)
【解析】
(1)因为中含有对数,定义域需满足真数大于0,求得定义域为
,关于原点对称,再表示
,判断其等于
,为偶函数;
(2)设任意,对
作差,化简后由真数大于1的对数大于0,得
,即得证明;
(3)由(1)(2)可知是偶函数且在区间
的单调递减,由偶函数的性质以及函数成立需满足定义域从而构建不等式组,解之得答案.
(1)因为,所以函数
的定义域为
,
因为,所以
是偶函数;
(2)任取且
,
则,
因为且
,所以
,
所以,
即,所以
在区间
上单调递减.
(3)因为是偶函数,所以
,
又因为定义域为
,且在区间
的单调递减,
因为,所以
,解之得
所以的取值范围是
.
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