Question

19．已知命题p：?x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，ax₀＜1；命题q：函数f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+1}$的定义域是R；若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先由命题p得到，?${x}_{0}∈[\frac{1}{2}，2]$，$a＜\frac{1}{{x}_{0}}$，容易得出函数$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}，2$]上的最大值为2，从而有a＜2；由命题q得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≤0}\end{array}\right.$，从而得到a≥1，而根据条件知道p真q假，或p假q真，从而求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答 解：若命题p为真，则：?x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，$a＜\frac{1}{{x}_{0}}$；
函数$y=\frac{1}{x}$在$[\frac{1}{2}，2]$上为减函数；
∴该函数的最大值为2；
∴a＜2；
若命题q为真，则ax²+2x+1≥0恒成立；
若a=0，2x+1≥0不恒成立；
∴a≠0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≤0}\end{array}\right.$；
解得a≥1；
而由p∧q为假命题，p∨q为真命题知，p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥1}\end{array}\right.$；
∴a＜1，或a≥2；
∴实数a的取值范围为（-∞，1）∪[2，+∞）．

点评 考查反比例函数的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值，由ax²+2x+1≥0恒成立便能得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，以及二次函数图象和x轴的关系与判别式△取值的关系，要熟悉二次函数的图象．