题目内容
定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)=
,g(x)=log2x(x>0),若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则实数b的取值范围是( )
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A、[-2,2] | ||||
B、[-2,-
| ||||
C、[-
| ||||
D、(-∞,-2]∪[2,+∞) |
考点:分段函数的应用
专题:计算题,函数的性质及应用
分析:先求x≥0时,f(x)的值域为[0,1],再由f(x)是定义在R上的奇函数,求出x≤0时f(x)的值域为[-1,0],
从而得到在R上的函数f(x)的值域为[-1,1].由g(x)为偶函数,求出g(x)的表达式,由条件可令-1≤
log2|b|≤1.解出即可.
从而得到在R上的函数f(x)的值域为[-1,1].由g(x)为偶函数,求出g(x)的表达式,由条件可令-1≤
log2|b|≤1.解出即可.
解答:解:∵f(x)=
,
∴当0≤x≤1时,2x-1∈[0,1],
当x≥1时,
∈(0,1],
即x≥0时,f(x)的值域为[0,1],
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴x≤0时f(x)的值域为[-1,0],
∴在R上的函数f(x)的值域为[-1,1].
∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x),x>0的g(x)=log2x,
∴g(x)=log2|x|(x≠0)
∵存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,
∴令-1≤g(b)≤1.
即-1≤log2|b|≤1.
即有
≤|b|≤2,
∴
≤b≤2或-2≤b≤-
.
故选:B.
|
∴当0≤x≤1时,2x-1∈[0,1],
当x≥1时,
1 |
x |
即x≥0时,f(x)的值域为[0,1],
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴x≤0时f(x)的值域为[-1,0],
∴在R上的函数f(x)的值域为[-1,1].
∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x),x>0的g(x)=log2x,
∴g(x)=log2|x|(x≠0)
∵存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,
∴令-1≤g(b)≤1.
即-1≤log2|b|≤1.
即有
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
故选:B.
点评:本题考查分段函数及运用,考查分段函数值域,注意各段的情况,考查函数的奇偶性及应用,考查对数不等式的解法,属于中档题.
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练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=
,若f(f(a))=-
,则实数a=( )
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1 |
2 |
A、4 | ||
B、-2 | ||
C、4或-
| ||
D、4或-2 |
对实数a和b,定义运算“*”:a*b=
,设函数f(x)=(x2+1)*(x+2),若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数C的取值范围是( )
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A、(2,4)∪(5,+∞) |
B、(1,2]∪(4,5] |
C、(-∞,1)∪(4,5] |
D、[1,2] |
设函数f(x)=
,则不等式f(x)≥4的解集是( )
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A、(-∞,-1]∪[2,+∞) |
B、[2,+∞)∪(-∞,-6] |
C、[-6,2]∪[3,+∞) |
D、(-5,1)∪[3,+∞) |
若直角坐标平面内的两个不同的点A、B满足以下两个条件:
①A、B都在函数y=f(x)的图象上;
②A、B关于原点对称.
则称点对[A,B]为函数y=f(x)的一对“好朋友”(注:点对[A,B]与[B,A]为同一“好朋友”)已知函数f(x)=
,则此函数的“好朋友”有( )
①A、B都在函数y=f(x)的图象上;
②A、B关于原点对称.
则称点对[A,B]为函数y=f(x)的一对“好朋友”(注:点对[A,B]与[B,A]为同一“好朋友”)已知函数f(x)=
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A、0对 | B、1对 | C、2对 | D、3对 |
函数f(x)=
,若关于x的方程2f2(x)-(2a+5)f(x)+5a=0有五个不同的实数解,则实数a的范围( )
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A、(1,
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B、(2,3) | ||||
C、(2,
| ||||
D、(1,3) |