Question

16．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；
（2）以B为原点，分别以$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{BQ}，\overrightarrow{BA}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．
解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．

解答 解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=$\frac{1}{2}$AB，
又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，
∴DF∥AB，且DF=$\frac{1}{2}$AB，即GH∥DF，且GH=DF，
∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，
又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．
（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，
∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，
以B为原点，分别以$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{BQ}，\overrightarrow{BA}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）
∵AB⊥平面BEC，∴$\overrightarrow{BA}=（0，0，2）$为平面BEC的法向量，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又$\overrightarrow{AE}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{AF}$=（2，2，-1）
由垂直关系可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=2x+2y-z=0}\end{array}\right.$，取z=2可得$\overrightarrow n=（2，-1，2）$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{2}{3}$
∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，
又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=$\frac{1}{2}$AE
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
∴GM∥平面ADE．
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．
又AD?平面ADE，MF?平面ADE，∴MF∥平面ADE．
又∵GM∩MF=M，GM?平面GMF，MF?平面GMF
∴平面GMF∥平面ADE，
∵GF?平面GMF，∴GF∥平面ADE
（2）同解法一．

点评 本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．