题目内容

16.在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.若I为△ABC的内心,则$\overrightarrow{CI}$•$\overrightarrow{CB}$的值为(  )
A.6B.10C.12D.15

分析 由题意可得,∠A=$\frac{π}{2}$,cosC=$\frac{4}{5}$,利用二倍角的余弦公式求得cos∠ICB的值.用面积法求得三角形的内切圆半径r,再利用直角三角形中的边角关系求得CI的值,可得$\overrightarrow{CI}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CI}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ICB 的值.

解答 解:由题意可得,∠A=$\frac{π}{2}$,cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{5}$,
且I为三角形ABC三内角平分线的交点,
∴∠ICB=$\frac{1}{2}$∠C,∴cosC=$\frac{4}{5}$=2cos2∠ICB-1,求得cos∠ICB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
设内切圆的半径为r,由S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=6=$\frac{1}{2}$•(AB+AC+BC)r=$\frac{1}{2}$×12×r,
求得r=1.
再根据sin∠ICB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{r}{CI}$=$\frac{1}{CI}$,∴CI=$\sqrt{10}$.
∴$\overrightarrow{CI}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CI}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ICB=$\sqrt{10}$•5•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=15,
故选:D.

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系,二倍角的余弦公式,两个向量的数量积的定义,属于中档题.

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