题目内容
【题目】已知函数,其中
,
,
为自然对数的底数.
若
,
,①若函数
单调递增,求实数
的取值范围;②若对任意
,
恒成立,求实数
的取值范围.
若
,且
存在两个极值点
,
,求证:
.
【答案】①
;②
;
证明见解析.
【解析】
①问题等价于
在
上恒成立,即
对任意
恒成立,由此得解;②分
及
讨论,容易得出结论;
解法一:表示出
,令
,求导后易证
;令
,
,利用导数可证
,进而得证
;解法二:不等式的右边同解法一;由
当
时,可得
,由此得出
,可得证.
解:①因为
单调递增,所以
对任意
恒成立,即
对任意
恒成立,
,即
;
②由①当时,
单调递增,故
成立,符合题意,
当时,令
得
,
在
上递减,
不合题意;
综上,实数的取值范围为
.
解法一:因为
,
存在两个极值点
,
,
所以有两个不同的解,故
,又
,所以
,
设两根为,
,则
,
,故
,
令,因为
,所以
在
上递增,所以
;
又
令,
,则
,
令得
,又
,则
,
即,记为
,则
在
上递增,在
上递减,
又,
,所以
,即
,综上:
.
解法二:不等式的右边同解法一;
由当
时,
恒成立,所以有当
时,
,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】当今世界科技迅猛发展,信息日新月异.为增强全民科技意识,提高公众科学素养,某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动,并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查.该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名,数据统计如表:
借阅科技类图书(人) | 借阅非科技类图书(人) | |
年龄不超过50岁 | 20 | 25 |
年龄大于50岁 | 10 | 45 |
(1)是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关?
(2)该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书,规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分,每借阅一本非科技类图书奖励积分1分,积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书.用表中的样本频率作为概率的估计值.
(i)现有3名借阅者每人借阅一本图书,记此3人增加的积分总和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(ii)现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人,则借阅科技类图书最有可能的人数是多少?
附:K2,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某外卖平台为提高外卖配送效率,针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案,为比较两种配送方案的效率,共选取50名外卖骑手,并将他们随机分成两组,每组25人,第一组骑手用甲配送方案,第二组骑手用乙配送方案.根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量(单位:单)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图,求各组内25位骑手完成订单数的中位数,已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52,结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高,并说明理由;
(2)设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数,将完成订单数超过
记为“优秀”,不超过
记为“一般”,然后将骑手的对应人数填入下面列联表;
优秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
(3)根据(2)中的列联表,判断能否有的把握认为两种配送方案的效率有差异.
附:,其中
.
0.05 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |