Question

14．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=$\frac{4{a}^{x}+2}{{a}^{x}+1}$+xcosx（-1≤x≤1），求函数f（x）的最大值和最小值的和．

Answer 1

分析 f（x）可化为3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，则f（x）=g（x）+3，根据函数的奇偶性可得g（x）在[-1，1]上关于原点对称，再根据函数的单调性可得：f（x）取到最大值M时，相对应的x下的g（x）也取最大值M'=M-3，同理f（x）有最小值m时，g（x）也取最小值m'=m-3，根据对称性可得M'+m'=0，进而得到答案．

解答 解：函数f（x）=$\frac{4{a}^{x}+2}{{a}^{x}+1}$+xcosx（-1≤x≤1）
=3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
则f（x）=g（x）+3，
因为g（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$-xcos（-x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$-xcosx=-g（x），
且x∈[-1，1]，
所以g（x）在[-1，1]上关于原点对称，即为奇函数，
因为f（x）和g（x）单调性相同，
所以f（x）取到最大值M时，相对应的x下的g（x）也取最大值M-3，
同理f（x）有最小值m时，g（x）也取最小值m-3，
设g（x）最大值M'=M-3，最小值m'=m-3，
因为g（x）关于坐标原点对称可得
所以（M-3）+（m-3）=0，
所以M+m=6．
即有函数f（x）的最大值和最小值的和为6．

点评 本题主要考查函数的有关性质，即函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．