题目内容

5．设0＜a＜1，函数f（x）=logax+log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2-x），则函数f-1（x）＜1的x的取值范围是（　　）
A．（0，2）B．（2，+∞）C．（0，+∞）D．（loga（2-a），+∞）

分析 先确定函数f（x）=logax+log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2-x）的定义域为（0，2），值域为R；从而求出f-1（x）=$\frac{2•{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$，从而解得．

解答 解：函数f（x）=logax+log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2-x）的定义域为（0，2），值域为R；
f（x）=logax+log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2-x）=loga$\frac{x}{2-x}$=y，
∴x=$\frac{2{a}^{y}}{{a}^{y}+1}$，
故f-1（x）=$\frac{2•{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$，
∴$\frac{2•{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$-1＜0，
即0＜ax＜1，又∵0＜a＜1，
∴x＞0，
故选：C．

点评 本题考查了反函数的应用及不等式的解法．

练习册系列答案
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9．对定义域分别是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）•g（x）}&{当x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x）}&{当x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x）}&{当x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$．
（1）若函数f（x）=-2x+3，x≥1，g（x）=x-2，x∈R，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的最大值；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos2x，并予以证明．
10．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：
①（a-b）${\;}^{-\frac{3}{4}}$（a＞b）；
②$\root{5}{（ab）^{2}}$；
③$\root{3}{（x-1）^{5}}$；
④$\frac{1}{\root{3}{{a}^{2}}}$；
⑤（a-b）${\;}^{\frac{3}{7}}$．
7．已知函数f（x）=$\frac{2x+b}{x-a}$（x∈R，x≠a）．
（1）若函数f（x）的图象关于直线y=x对称，求实数a的值；
（2）若函数F（x）=$\frac{a}{f（x）}$（a≠0），且F（x）的反函数F-1（x）的图象如图，求出a、b的值，并写出F-1（x）的表达式．
14．函数f（x）在区间[0，1]上有定义，f（0）=f（1），如果对于任意不同的x1，x2属于区间[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|，求证：|f（x1）-f（x2）|＜$\frac{1}{2}$．
10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=（　　）
A．10B．15C．20D．25
17．设复数z1=1-3i，z1-z2=6+5i，则z2=-5-8i．
14．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=$\frac{4{a}^{x}+2}{{a}^{x}+1}$+xcosx（-1≤x≤1），求函数f（x）的最大值和最小值的和．
15．设全集U=R，M={x|y=2x+1}，N={y|y=-x2}，则M和N的关系是（　　）
A．M$\underset{?}{≠}$NB．M∩N={（-1，1）}C．M=ND．N$\underset{?}{≠}$M

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