题目内容
【题目】已知椭圆的一个焦点坐标为
,一条斜率为
的直线分别交
轴于点
,交椭圆于点
,且点
三等分
.
(1)求该椭圆的方程;
(2)若是第一象限内椭圆上的点,其横坐标为2,过点
的两条不同的直线分别交椭圆于点
,且直线
的斜率之积
,求证:直线
恒过定点,并求出定点的坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析,定点
.
【解析】
(1)分别设出点的坐标,用相关参数表示
的坐标,代入椭圆方程,求出
的值;
(2)设出直线的方程,利用条件求出相关参数关系,即可求得定点坐标.
(1)不妨设,则
,
即,
则由题意知,或
,
分别代入椭圆的方程得消去
,整理得
,
又,所以
.
故该椭圆的方程为.
(2)由题意得,直线
的斜率存在,且不为0,设直线
的方程为
,
代入椭圆的方程整理得,.
设,由根与系数的关系得,
由得
,即
,
所以,
即,
整理得,.
由求根公式得,,
故或
.
若,则直线
的方程为
,
直线过点
,即
点,舍去.
若,则直线
的方程为
,恒过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在传染病学中,通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息,得到如下表格:
潜伏期(单位:天) | |||||||
人数 |
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,从上述1000名患者中抽取200人,得到如下列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关;
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
| |||
| |||
总计 |
(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率,代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立,为了深入研究,该研究团队随机调查了20名患者,其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中
.