题目内容
【题目】如图，正三棱柱
的每条棱的长度都相等，
，
分别是棱
，
的中点，
是棱
上一点，且
平面
.
（1）证明：
平面
.
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
．
【解析】
（1）由
平面
，利用线面平行的性质定理可得
，又
是棱
的中点，可得
是棱
的中点，进而得到四边形
是平行四边形，
，利用线面平行的判定定理即可证得
平面
；
（2）以
为坐标原点，建立空间直角坐标系．设
，求出平面
的法向量
和
，利用
即可得出.
（1）证明：
平面，
平面
，
平面
平面
，
，又是棱的中点，
是棱的中点．
又是
的中点，
，
，
四边形是平行四边形．
，
又
平面，
平面，
平面.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
，则
，
，
，
令
，得
，
，
直线
与平面所成角的正弦值为
.
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