题目内容
【题目】直线l:x﹣ty+1=0(t>0)和抛物线C:y2=4x相交于不同两点A、B,设AB的中点为M,抛物线C的焦点为F,以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N,且满足|MN||NF|,则直线l的方程为_____.
【答案】xy+1=0
【解析】
求得抛物线的焦点F,联立直线l和抛物线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标,设N(ty0﹣1,y0),由NF⊥l,结合两直线垂直的条件,可得t,y0的关系式,再由两点的距离公式,化简整理可得t,可得所求直线方程.
y2=4x的焦点为F(1,0),联立x﹣ty+1=0与y2=4x,可得y2﹣4ty+4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得y1+y2=4t,则中点M(2t2﹣1,2t),
设N(ty0﹣1,y0),由NF⊥l,可得t,即有y0,
由|MN||NF|可得,
即为,
结合,整理可得t6=27,解得t,
可得直线l的方程为xy+1=0.
故答案为:xy+1=0.
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