题目内容
【题目】已知函数,若的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点.
(1)求的表达式和的递增区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1),的递增区间为,.(2)
【解析】
(1)由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数,相邻两条对称轴的距离为,可得周期,从而得,再代入坐标得;
(2)由三角函数图象变换得,题意转化为的图象与直线在上只有一个公共点,结合函数图象易得结论.
(1),
的最小正周期为,∴.
∵的图象过点,∴,∴,
即.
令,,,,
故的递增区间为,.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,可得的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.
∵,∴,∴,故在区间上的值域为.
若函数在区间上有且只有一个零点,
即函数的图象和直线只有一个公共点,
如图,
根据图象可知,或,即.
故实数的取值范围是.
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