Question

【题目】如图，四棱锥中，平面平面，且．

（1）求证：平面；

（2）求和平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在一点使得平面平面，若存在，求出的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)先利用平面几何知识证明,利用平面平面的性质可证明平面；(2)作与底面垂直，以为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量,利用向量的夹角公式，即可求和平面所成角的正弦值；(3)求出平面—个法向量，利用平面平面,法向量的数量积为0 ,即可得出结论.

（1）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．

由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．

又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

所以BD⊥平面ADE．

（2）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则D（0，0，0），，，，，，．

设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．

设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=

所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．

（3）解：设，λ∈[0，1]．

，，

．则．

设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则

令x'=1，则=（1，0，﹣）．

若平面BDF⊥平面CDE，则=0，即，．

所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．