题目内容
【题目】已知函数f(x)=sin2x+acosx+x在点x= 处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)当x∈[﹣ , ]时,求函数f(x)的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)=sin2x+acosx+x,
f′(x)=2cos2x﹣asinx+1,
f′( )=2cos ﹣asin +1=0,
解得:a=4
(2)解:由(1)得:f(x)=sin2x+4cosx+x,
f′(x)=2cos2x﹣4sinx+1=2﹣4sin2x﹣4sinx+1=﹣(2sinx+1)2+4,
令f′(x)>0,解得:﹣ <x< 或 <x< ,
令f′(x)<0,解得: <x< ,
∴f(x)在[﹣ , )递增,在( , )递减,在( , )递增,
∴f(x)的最大值是f( )或f( ),
而f( )= ﹣2+ <f( )= + ,
故f(x)的最大值是f( )= +
【解析】(1)求出函数的导数,根据f′( )=0,求出a的值即可;(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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